উচ্চতর গণিতে, ম্যাট্রিক্স একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়। আধুনিক বিজ্ঞান, কম্পিউটার, প্রকৌশল বিদ্যার প্রায় সকল শাখায় এমন কী পরিসংখ্যানের বিভিন্ন সমস্যা ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে স্বল্প সময়ে সহজেই সমাধান করা হচ্ছে। উন্নত দেশসমূহে জনশক্তি সংগঠন ও পরিচালনার জন্য ম্যাট্রিক্সের প্রয়োগ করা হচ্ছে। অর্থনীতিবিদরাও অর্থনীতির উপাদান ও উপাদান বিশ্লেষণে ম্যাট্রিক্সের ব্যবহার করছে।
ম্যাট্রিক্সের সাথে নির্ণায়কের সংশ্লিষ্টতা রয়েছে। তাই এ আর্টিকেলে ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়কের ব্যাখ্যা, ধর্মাবলি এবং সমীকরণ জোটের সমাধান পদ্ধতি সম্পর্কে আলোচনা করা হয়েছে। এ আর্টিকেলটি সম্যকভাবে আয়ত্ত ও অনুধাবন করা একান্ত প্রয়োজন।
এই আর্টিকেলে যা যা শিখতে পারবেন–
- ম্যাট্রিক্স কি? (What is Matrix in Bengali/Bangla?)
- ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ (Types of Metrics in Bengali/Bangla?)
ম্যাট্রিক্স কি? (What is Matrix in Bengali/Bangla?)
বিজ্ঞান ও গণিতের বিভিন্ন তথ্য আয়তাকারে সারি (আনুভূমিক রেখা) ও কলাম (উল্লম্ব রেখা) বরাবর সাজালে যে আয়তাকার বিন্যাস (Rectangular arays) পাওয়া যায় একে ম্যাট্রিক্স (Matrix) বলা হয়।
উদাহরণস্বরূপ: একজন ছাত্র একটি নির্দিষ্ট সপ্তাহে, কোন দিনে কত সময় (ঘন্টায়) গণিত, পদার্থবিদ্যা ও রসায়নবিদ্যা অধ্যয়ন করেছে তা আয়তাকারে সাজালে তিনটি সারি ও সাতটি কলামবিশিষ্ট একটি বিন্যাস পাওয়া যায়। যদি শিরােনাম (heading) উহ্য রাখি তাহলে তিনটি সারি ও সাতটি কলামবিশিষ্ট [ ] বা ( ) বা || ||‘ দ্বারা আবদ্ধ যে আয়তাকার বিন্যাস পাওয়া যায় এটিই ম্যাট্রিক্স। গাণিতিক এই বিন্যাস শুধুমাত্র তথ্য সংরক্ষণেই সীমাবদ্ধ নয়। গণিতের বিভিন্ন সমস্যা সমাধানেও ম্যাটিক্সের ভূমিকা অপরিসীম।
যেকোনাে ধরনের তথ্য সংগ্রহ ও সংরক্ষণের জন্য আমরা সর্বদা বিভিন্ন উপায় অবলম্বন করে থাকি। আর এই সংগৃহীত তথ্য এমনভাবে ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে সাজানাে হয় যাতে পরবতীতে ঐ তথ্য বােঝা ও বিশ্লেষণ করা সহজতর হয়। ম্যাট্রিক্সের সূচনা হয় খ্রিস্টপূর্ব দ্বিতীয় শতকের পূর্বে। প্রাচীন ব্যাবিলন ও চীন থেকেই ম্যাট্রিক্স সম্পর্কিত এই ধারণা পাওয়া যায়। এরপর সতের শতাব্দীর শেষ পর্যন্ত গণিতের এই গুরুত্বপূর্ণ বিষয়ের তেমন কোনাে প্রসার ঘটেনি।
ইংরেজ গণিতবিদ জেমস জোসেফ সিলভেস্টার (James Joseph Sylvester) (1814-1897) 1850 খ্রিস্টাব্দে সর্বপ্রথম ম্যাটিক্স সম্পর্কে ধারণা ব্যক্ত করেন। তারই সহকর্মী আর্থার ক্যালি (Arthur Cayley) (1821-1895 ) বিপরীত ম্যাট্রিক্সের ধারণাসহ ম্যাট্রিক্সের তাৎপর্য তুলে ধরেন এবং এটা তিনি 1853 খ্রিস্টাব্দে প্রকাশ করেন। পরবর্তীতে তিনি 1858 খ্রিস্টাব্দে তার পত্রিকা ‘Memoir on the theory of matrices’ এ প্রথমে বিশ্লেষণমূলকভাবে ম্যাট্রিক্সকে প্রকাশ করেন। এ কারণে তাকে ম্যাট্রিক্সের জনক বলা হয়।বিখ্যাত পদার্থবিজ্ঞানী হাইজেনবার্গ (Heisenberg) 1925 খ্রিস্টাব্দে কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় ম্যাট্রিক্সের প্রথম ব্যবহার শুরু করেন।
গণিতে সমীকরণ জোটের সমাধান, পরিসংখ্যানের সম্ভাবনা তত্ত্বে, উচ্চতর অর্থনীতিতে, ব্যবসায় গণিতে আয়-ব্যয় হিসাব ইত্যাদিতে ম্যাট্রিক্স বহুলভাবে ব্যবহূত হয়।শেয়ারের ক্রয়-বিক্রয় হিসাব, কোন প্রকার ট্রেজারি বন্ডে কী পরিমাণ অর্থ বিনিয়ােগ করতে হবে তা বিপরীত ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে সহজে নির্ণয় করা যায়।
ম্যাট্রিক্সের সারি ও কলামঃ ম্যাট্রিক্সে সংখ্যার আয়তকার বিন্যাসকে দুই প্রকারে বিশ্লেষণ করা হয়। যথা: আনুভূমিক রেখা বরাবর এবং উল্লম্ব রেখা বরাবর। সংখ্যাগুলির আনুভূমিক রেখাগুলিকে সারি এবং উল্লম্ব রেখাগুলিকে কলাম বলা হয়।
ম্যাট্রিক্সের ক্রম (Order of Matrix): m সংখ্যক সারি ও n সংখ্যক কলামবিশিষ্ট কোন ম্যাট্রিক্সকে m × n (পড়তে হবে m বাই (by) n) ক্রমের ম্যাট্রিক্স বলা হয়। উদাহরণ:
ম্যাট্রিক্সের প্রকারভেদ (Types of Matrix)
নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স (Lower Triangular Matrix): কোন বর্গ ম্যাট্রিক্স এর মূখ্য বা প্রধান কর্ণের উপরস্থ সবগুলি ভুক্তি শূন্য (০) হলে তাকে নিম্ন ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
কর্ণ ম্যাট্রিক্স (Diagonal Matrix): মূখ্য বা প্রধান কার্ণের ভুক্তি ব্যতীত অপর সকল ভুক্তি ব্যতীত ভুক্তি ‘0’ শূন্য হলে তাকে কর্ণ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
স্কেলার ম্যাট্রিক্স (Scalar Matrix): কোনো কর্ণ ম্যাট্রিক্সের অশূন্য ভুক্তিগুলি সমান হলে, ঐ কর্ণ ম্যাট্রিক্সকে স্কেলার ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
একক বা অভেদক ম্যাট্রিক্স (Unit or Identity Matrix): কোনো বর্গ ম্যাট্রিক্সের মূখ্য বা প্রধান কার্ণের ভুক্তি ব্যতীত অপর সকল ভুক্তি ‘0’ (শূন্য) এবং প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলি 1 (এক) হলে তাকে অভেদক বা একক ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
শূন্য ম্যাট্রিক্স (Zero or Null Matrix): কোনো ম্যাট্রিক্সের সকল ভুক্তি শূন্য ‘0’ হলে তাকে শূন্য ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
সমঘাতি ম্যাট্রিক্স (Indempotent Matrix): একটি বর্গকার ম্যাট্রিক্স কে সমঘাতি ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স (Transpose Matrix): কোনো ম্যাট্রিক্স A এর যথাযথ সারি এবং কলাম বিনিময় করলে যে নতুন ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তাকে A ম্যাট্রিক্স এর ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
উপ-ম্যাট্রিক্স (Sub Matrix): কোনো একটি ম্যাট্রিক্সের যেকোনো সংখ্যক কলাম ও সারির ভুক্তি বাদ দিয়ে গঠিত অপর একটি ম্যাট্রিক্সকে মূল ম্যাট্রিক্সের উপ-ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
ম্যাট্রিক্সের যোগ এবং বিয়োগ (Addition and Subtraction of Matrices)
যদি দুইটি ম্যাট্রিক্সের সারি ও কলাম সংখ্যা একই হয় অর্থাৎ একই আকারের হয়, তবে তাদের যোগ বা বিয়োগ করা যায়।
যোগ ও বিয়োগের নিয়মঃ
- যখন দুইটি ম্যাট্রিক্স যোগ বা বিয়োগ করা হয় তখন একটি ম্যাট্রিক্সের প্রত্যেক ভুক্তির সাথে অন্য ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ ভুক্তি যোগ বা বিয়োগ করতে হয়।
- দুইটি ম্যাট্রিক্সের যোগ বা বিয়োগের ফলে যে নতুন ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় তার মাত্রা বা আকার প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সদ্বয়ের মাত্রার বা আকারের সমান হবে।
ম্যাট্রিক্সের গুণন (Multiplication of Matrices)
দুইটি ম্যাট্রিক্স তখনই গুণনযোগ্য হবে যখন বাম পাশের ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা, ডান পাশের ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা পরস্পর সমান হয়।
অর্থাৎ A ও B দুইটি ম্যাট্রিক্স হলে A × B তখনই সম্ভব যখন A ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা, B ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার সমান হয়।
যদি A একটি m x p আকারের এবং B একটি p x n আকারের ম্যাট্রিক্স হয়, তবে গুণফল AB একটি m x n আকারের ম্যাট্রিক্স হবে।
ব্যতিক্রমী ও অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স (Singular and Nonsingular matrices)
ব্যতিক্রমী (Singular) ম্যাট্রিক্স : যদি কোনো ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য (0) হয়, তবে ঐ ম্যাট্রিক্সকে ব্যতিক্রমী বলা হয়।
অব্যতিক্রমী (Nonsingular) ম্যাট্রিক্স : যদি কোনো ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য না হয়, তবে ঐ ম্যাট্রিক্সকে অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক এর মধ্যে পার্থক্য কি? (What is difference between Matrix and Determinant in Bengali?)
ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক এর মধ্যে পার্থক্য নিচে তুলে ধরা হলো-
ম্যাট্রিক্স (Matrix)
- যখন কোনো সংখ্যা রাশি, পরামিতি বা চলক সমূহকে শ্রেণিবদ্ধভাবে আয়তকার সাজানো হয়, তখন তাকে ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
- ম্যাট্রিক্স এর কোন নির্দিষ্ট মান নেই।
- এর সারি ও কলাম পরস্পর বিনিময় করা যায় না।
- এর সারি ও কলাম সংখ্যা সমান হতে পারে আবার নাও হতে পারে।
- m সংখ্যক সারি ও n সংখ্যক কলাম হলে এর ভুক্তি হবে mn।
- একে কোন ধ্রুবক সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে তার প্রত্যেকটি উপাদানকে (সারিতে বা কলামে) এই ধ্রুবক সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হয়।
- দুইটি উল্লম্ব সমান্তরাল সরলরেখার মধ্যে বর্গাকারভাবে কতগুলি সংখ্যার সাজানো রাশিকে নির্ণায়ক বলা হয়।
- নির্ণায়ক এর সুনির্দিষ্ট মান থাকে।
- এর সারিকে কলামে এবং কলামকে সারিতে রূপান্তরিত করা যায়।
- এর সারি ও কলাম সংখ্যা অবশ্যই সমান হতে হবে।
- ক্রম n হলে এর ভুক্তি সংখ্যা n2 হবে।
- একে কোন ধ্রুব সংখ্যা দ্বারা গুণ করলে এর একটি সারিতে বা কলামে গুণ করতে হয়।
Tags :
ম্যাট্রিক্স কি বা কাকে বলে? (What is called Matrix in Bengali/Bangla?)
ম্যাট্রিক্স কত প্রকার ও কি কি?
ম্যাট্রিক্স এর জনক কে? (Who is the father of matrix?)
বিপরীত ম্যাট্রিক্স কাকে বলে?
ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক এর সকল সূত্র কি?
ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক এর সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর
ম্যাট্রিক্স ও নির্ণায়ক এর mcq
দুটি ম্যাট্রিক্স সমান হওয়ার শর্ত কি কি?ম্যাট্রিক্স এর মাত্রা নির্ণয়
দুটি ম্যাট্রিক্স সমান হওয়ার শর্তগুলো কী কী?
[…] >> মেট্রিক্স নির্ণয়ের পার্থক্য […]